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LA TRASFORMATA DI FOURIER DISCRETA

Nel caso particolare in cui la sequenza da rappresentare e' di durata finita, cioe' quando ha un numero finito di valori non nulli, e' possibile sviluppare una rappresentazione di Fourier alternativa, chiamata trasformata di Fourier discreta (DFT).
La DFT e' una rappresentazione di Fourier di una sequenza di lunghezza finita che e' essa stessa una sequenza anziche' una funzione continua, e corrisponde a campioni egualmente spaziati in frequenza della trasformata di Fourier del segnale.
Oltre alla sua importanza dal punto di vista teorico come rappresentazione di Fourier di sequenze, la DFT, grazie all'esistenza di un metodo efficiente per il suo calcolo, svolge un ruolo centrale nella realizzazione di vari algoritmi di elaborazione numerica dei segnali.

Rappresentazione di sequenze periodiche

Si consideri una sequenza x(n) periodica con periodo N , cioe' tale che sia x(n) = x(n + kN) per ogni valore intero di k.
E' possibile rappresentare x(n) per mezzo di una serie di Fourier, cioe' come somma di sequenze sinusoidali o cosinusoidali o, in modo equivalente, di sequenze esponenziali complesse con frequenze multipli interi della frequenza fondamentale 2¶/N associata alla sequenza periodica.
A differenza della serie di Fourier valida per funzioni periodiche continue, esistono in questo caso soltanto N esponenziali complessi distinti il cui periodo e' un sottomultiplo intero del periodo fondamentale N.
Cio' deriva dal fatto che l'esponenziale complesso

(1)

e' periodico in k con periodo N. Percio' e0(n) = eN(n), e1(n) = eN+1(n), etc. e quindi l'insieme di NN esponenziali complessi con k = 0,1,2,...,N-1 definisce tutti gli esponenziali complessi distinti con frequenze che sono multipli interi di 2¶/N.
Pertanto per la rappresentazione in serie di Fourier di una sequenza periodica x(n), bastano soltanto N di questi esponenziali complessi e quindi essa puo' scriversi nella forma:

(2)

La costante moltiplicativa 1/N e' stata inserita per convenienza e non ha alcun effetto importante sulla natura della rappresentazione.
Per ottenere i coefficienti X(k) della sequenza periodica x(n) si usa il fatto che risulta:

(3)

Percio', moltiplicando entrambi i membri della relazione () per exp(-j(2¶/N)nr e sommando da n = 0 a n = N - 1, si ottiene:

Ovvero, scambiando l'ordine delle sommatorie al secondo membro:

per cui, usando la (3), si ha che:

Percio' i coefficienti X(k) sono dati da:

(4)

Si nota che la sequenza X(k) rappresentata dalla relazione () e' periodica con periodo N, cioe' X(0) = X(N), X(1) = X(N+1), etc.
Cio' e' in accordo con il fatto che gli esponenziali complessi rappresentati nell'espressione (1) sono distinti solo per k = 0,1,...,N-1 per cui nella rappresentazione di una sequenza periodica in serie di Fourier possono esservi solo N coefficienti distinti.
Le relazioni () e () possono essere considerate una coppia di trasformate e costituiscono la rappresentazione di una sequenza periodica in serie di Fourier discreta (DFS).
Definendo

le formule di analisi e sintesi della DFS si possono scrivere come:

(5)

(6)

dove sia X(k) che x(n) sono sequenze periodiche.
La sequenza periodica X(k) puo' essere utilmente interpretata come sequenza di campioni sul circolo unitario, equispaziati in angolo, della trasformata z di un periodo di x(n), che risulta essere:

o meglio:

(7)

poiche' x(n) = 0 al di fuori dell'intervallo 0<=n<=N-1. Confrontando le espressioni (5) e (7), si nota che tra X(k) ed X(z) sussiste la relazione:

in (8)

Il che corrisponde a campionare la trasformata z X(z) in N punti ugualmente spaziati in angolo sul circolo unitario, con il primo campione situato in z = 1. La trasformata z in tali punti, essendo r = 1, ossia |z| = 1, e' uguale alla trasformata di Fourier della sequenza.

Rappresentazione di sequenze di durata finita

La rappresentazione di sequenze periodiche in termini della serie di Fourier discreta (DFS) puo' essere applicata a sequenze di durata finita ottenendo cosi' la trasformata di Fourier discreta (DFT).
Per quanto visto sopra e' possibile rappresentare una sequenza di durata finita lunga N con una sequenza periodica di periodo N: calcolando dalla DFS relativa alla sequenza periodica un singolo periodo della medesima sequenza periodica si ottiene la sequenza di durata finita.
I coefficienti della serie di Fourier discreta X(k) relativi alla sequenza periodica x(n) sono anch'essi una sequenza periodica di periodo N. Considerando solo gli N coefficienti X(0)..X(N-1) della serie di Fourier discreta associata alla sequenza periodica di periodo N x(n) ed associandoli alla corrispondente sequenza di durata finita di N campioni, si ottengono le espressioni della trasformata di Fourier discreta DFT della sequenza di durata finita x(n). La relazione (5) e la relazione (6) rappresentano rispettivamente l'analisi e la sintesi della sequenza x(n) in termini frequenziali.