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<TITLE>La trasformata di Fourier discreta</TITLE>
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<H2>LA TRASFORMATA DI FOURIER DISCRETA</H2>
Nel caso particolare in cui la sequenza da rappresentare e' di durata finita,
cioe' quando ha un numero finito di valori non nulli, e' possibile sviluppare
una rappresentazione di Fourier alternativa, chiamata <EM>trasformata di
Fourier discreta</EM> (<STRONG>DFT</STRONG>).
<BR>
La <STRONG>DFT</STRONG> e' una rappresentazione di Fourier di una sequenza di lunghezza finita
che e' essa stessa una sequenza anziche' una funzione continua, e <EM>corrisponde
a campioni egualmente spaziati in frequenza della trasformata di Fourier del
segnale</EM>.
<BR>
Oltre alla sua importanza dal punto di vista teorico come rappresentazione di
Fourier di sequenze, la <STRONG>DFT</STRONG>, grazie all'esistenza di un metodo efficiente per
il suo calcolo, svolge un ruolo centrale nella realizzazione di vari algoritmi
di elaborazione numerica dei segnali.

<H3>Rappresentazione di sequenze periodiche</H3>

Si consideri una sequenza <EM>x(n)</EM> periodica con periodo <EM><STRONG>N
</STRONG></EM>, cioe' tale che sia <EM>x(n) = x(n + k<STRONG>N</STRONG>)</EM> 
per ogni valore intero di <EM>k</EM>.
<BR>
E' possibile rappresentare <EM>x(n)</EM> per mezzo di una serie di Fourier, cioe'
come somma di sequenze sinusoidali o cosinusoidali o, in modo equivalente,
di sequenze esponenziali complesse con frequenze multipli interi della 
frequenza fondamentale <EM>2/N</EM> associata alla sequenza periodica.
<BR>
A differenza della serie di Fourier valida per funzioni periodiche continue,
esistono in questo caso soltanto <EM><STRONG>N</STRONG></EM> esponenziali 
complessi distinti il cui periodo e' un sottomultiplo intero del periodo 
fondamentale <EM><STRONG>N</STRONG></EM>.
<BR>
Cio' deriva dal fatto che l'esponenziale complesso
<P><IMG ALIGN=CENTER ALT="" 
SRC="svcoecog.gif">     (1)
<P><P>
e' periodico in k con periodo <EM><STRONG>N</STRONG></EM>. Percio'  
<EM>e0(n) = eN(n), e1(n) = eN+1(n),</EM> etc. e quindi l'insieme di 
<EM><STRONG>N</STRONG></EM>N esponenziali complessi con <EM>k = 0,1,2,...,N-1</EM>
 definisce tutti gli esponenziali complessi distinti con frequenze che sono 
multipli interi di 2/N.
<BR>
Pertanto per la rappresentazione in serie di Fourier di una sequenza periodica
<EM>x(n)</EM>, bastano soltanto <EM><STRONG>N</STRONG></EM> di questi 
esponenziali complessi e quindi essa puo' scriversi nella forma:
<P><IMG ALIGN=BOTTOM ALT="" SRC="svcoecof.gif"> (2)
<P><P>
La costante moltiplicativa <EM><STRONG>1/N</STRONG></EM> e' stata inserita
per convenienza e non ha alcun effetto importante sulla natura della 
rappresentazione. 
<BR>
Per ottenere i coefficienti <EM><STRONG>X(k)</STRONG></EM> della sequenza
periodica <EM><STRONG>x(n)</STRONG></EM> si usa il fatto che risulta:
<P><IMG ALIGN=CENTER ALT="" SRC="svcoecoh.gif"> (3)
<P><P>
Percio', moltiplicando entrambi i membri della relazione () per 
<EM><STRONG>exp(-j(2/N)nr</STRONG></EM> e sommando da <EM>n = 0</EM> a
<EM>n = N - 1</EM>, si ottiene:
<P><IMG ALIGN=CENTER ALT="" SRC="svcoecoi.gif">
<P><P>
Ovvero, scambiando l'ordine delle sommatorie al secondo membro:
<P><IMG ALIGN=CENTER ALT="" SRC="svcoecoj.gif">
<P><P>
per cui, usando la (3), si ha che:
<P><IMG ALIGN=CENTER ALT="" SRC="svcoecok.gif">
<P><P>
Percio' i coefficienti <EM><STRONG>X(k)</STRONG></EM> sono dati da:
<P><IMG ALIGN=CENTER ALT="" SRC="svcoecol.gif"> (4)
<P><P>
Si nota che la sequenza <EM><STRONG>X(k)</STRONG></EM> rappresentata dalla
relazione () e' periodica con periodo <EM><STRONG>N</STRONG></EM>, cioe'
<EM><STRONG>X(0) = X(N), X(1) = X(N+1)</STRONG></EM>, etc.
<BR>
Cio' e' in accordo con il fatto che gli esponenziali complessi rappresentati
nell'espressione (1) sono distinti solo per <EM><STRONG>k = 0,1,...,N-1</STRONG></EM>
per cui nella rappresentazione di una sequenza periodica in serie di Fourier
possono esservi solo <EM><STRONG>N</STRONG></EM> coefficienti distinti.
<BR>
Le relazioni () e () possono essere considerate una coppia di trasformate e
costituiscono la rappresentazione di una sequenza periodica in serie di
Fourier discreta <STRONG>(DFS)</STRONG>.
<BR>
Definendo
<P><IMG ALIGN=CENTER ALT="" SRC="svcoecom.gif">
<P><P>
le formule di analisi e sintesi della <STRONG>DFS</STRONG> si possono scrivere come:
<P><IMG ALIGN=CENTER ALT="" SRC="svcoecon.gif"> (5)
<P><P>
<P><IMG ALIGN=CENTER ALT="" SRC="svcoecoo.gif"> (6)
<P><P>
dove sia <EM><STRONG>X(k)</STRONG></EM> che <EM><STRONG>x(n)</STRONG></EM>
sono sequenze periodiche.
<BR>
La sequenza periodica <EM><STRONG>X(k)</STRONG></EM> puo' essere utilmente
interpretata come sequenza di campioni sul circolo unitario, equispaziati in
angolo, della <EM>trasformata z</EM> di un periodo di <EM>x(n)</EM>, che
risulta essere:
<P><IMG ALIGN=CENTER ALT="" SRC="svcoecop.gif">
<P><P>
o meglio:
<P><IMG ALIGN=CENTER ALT="" SRC="svcoecp0.gif"> (7)
<P><P>
poiche' <EM>x(n) = 0</EM> al di fuori dell'intervallo <EM>0<=n<=N-1</EM>.
Confrontando le espressioni (5) e (7), si nota che tra 
<EM><STRONG>X(k)</STRONG></EM> ed <EM><STRONG>X(z)</STRONG></EM> sussiste la
relazione:
<P><IMG ALIGN=CENTER ALT="" SRC="svcoecp1.gif"> in <IMG ALIGN=CENTER ALT="" SRC="svcoecp2.gif"> (8)
<P><P>
Il che corrisponde a campionare la trasformata z <EM><STRONG>X(z)</STRONG></EM>
in <EM><STRONG>N</STRONG></EM> punti ugualmente spaziati in angolo sul circolo
unitario, con il primo campione situato in z = 1.
La trasformata z in tali punti, essendo <EM>r</EM> = 1, ossia |<EM>z</EM> = 1,
e' uguale alla trasformata di Fourier della sequenza.
<BR>
figura cerchio unitario
<BR>
<H3>Rappresentazione di sequenze di durata finita</H3>

La rappresentazione di sequenze periodiche in termini della serie di Fourier
discreta <STRONG>(DFS)</STRONG> puo' essere applicata a sequenze di durata finita ottenendo
cosi' la <EM>trasformata di Fourier discreta</EM> (<STRONG>DFT</STRONG>).
<BR>
Per quanto visto sopra e' possibile rappresentare una sequenza di durata
finita lunga N con una sequenza periodica di periodo N: calcolando dalla
DFS relativa alla sequenza periodica un singolo periodo della medesima
sequenza periodica si ottiene la sequenza di durata finita.
<BR>
I coefficienti della serie di Fourier discreta <EM>X(k)</EM> relativi alla
sequenza periodica <EM>x(n)</EM> sono anch'essi una sequenza periodica di
periodo N.
Considerando solo gli N coefficienti X(0)..X(N-1) della serie di Fourier 
discreta associata alla sequenza periodica di periodo N <EM>x(n)</EM> ed
associandoli alla corrispondente sequenza di durata finita di N campioni, si
ottengono le espressioni della <EM>trasformata di Fourier discreta</EM> 
<STRONG>DFT</STRONG> della sequenza di durata finita <EM>x(n)</EM>. 
La relazione ()a e la relazione ()b rappresentano rispettivamente l'analisi e
la sintesi della sequenza <EM>x(n)</EM> in termini frequenziali.  

<H3>Proprieta' della trasformata di Fourier discreta</H3>

<OL>
<LI><STRONG>Linearita'</STRONG>
Se due sequenze di durata finita <EM>x1(n)</EM> e <EM>x2(n)</EM> sono combinate
linearmente come:
<BR>
<BR>
		<EM>x3(n) = ax1(n) + bx2(n)</EM>
<BR>
<BR>
allora la DFT di <EM>x3(n)</EM> e'
<BR>
<BR>
		<EM><STRONG>X3(k) = aX1(k) + bX2(k)</EM></STRONG>
<BR>
<BR>
Se <EM>x1(n)</EM> ha durata N1 e <EM>x2(n)</EM> ha durata N2, allora la durata 
di <EM>x3(n)</EM> sara' N3 = max [N1, N2]; percio' in generale la DFT sara' 
calcolata con N = N3; se, ad esempio N1 < N2, allora <EM><STRONG>X1(k)</EM></STRONG>
sara' la DFT della sequenza <EM>x1(n)</EM> allungata con N2 - N1 zeri.
<BR>
<BR>
<LI><STRONG>Traslazione circolare</STRONG>
<BR>
<BR>
<LI><STRONG>Simmetria</STRONG>
</OL>

<P>

</BODY>
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